У пианино коэффициент негармоничности B самых низких струн может достигать 10⁻³, тогда как у большого рояля он остаётся около 10⁻⁴, то есть различие примерно в десять раз (Dalmont, Acta Acustica 2021). Это одно из самых наглядных измеренных различий между малыми и большими инструментами. Слух добавляет собственное смещение: 36 музыкантов выставили октаву шире на 7,835 цента на ноте A4 и на 23,920 цента на ноте A6 (Jaatinen, Pätynen и Alho, JASA 2019), а негармоничные парциалы заставляли низкие тоны фортепиано звучать примерно на два с половиной полутона выше для жюри из 21 слушателя (Anderson и Strong, JASA 2005). Строй тоже не стоит на месте: год концертов сдвинул верхнюю октаву одного рояля до 10 центов (Plath, ISMA 2019). Этот обзор посвящён физике струн, а не рынку фортепиано, который отслеживает наш обзор статистики рынка фортепиано. Мы свели данные из Журнала Акустического общества Америки (JASA), Acta Acustica, цикла лекций Королевской шведской музыкальной академии по акустике фортепиано, Piano Technicians Guild, USDA Forest Products Laboratory и рецензируемых исследований восприятия в Communications Psychology и Hearing Research.
Сначала несколько терминов простым языком. Парциал - это один из обертонов, которые струна издаёт выше своей самой низкой частоты (основного тона). Негармоничность означает, что эти парциалы оказываются всё выше точных целых кратных, потому что стальная проволока жёсткая, а не идеально гибкая. Коэффициент негармоничности B измеряет силу этого эффекта для одной струны: в стандартной модели парциал n находится на частоте, равной n основным частотам, умноженным на квадратный корень из (1 + Bn²) (Gràcia и Sanz-Perela, Reports@SCM 2017). Цент - это одна сотая полутона (Hinrichsen, Revista Brasileira de Ensino de Física 2012). Растянутый строй означает настройку баса чуть ниже, а верхнего регистра чуть выше математически равномерной темперации.
Кратко (TL;DR)
- B близок к 10⁻⁴ у самых низких струн большого рояля, но может достигать 10⁻³ у пианино (Dalmont, Acta Acustica 2021).
- Негармоничность наименьшая в двух октавах ниже средней до (Schuck и Young, JASA 1943).
- B меняется на 5-18% между большинством соседних струн в изученном высоком верхнем регистре (Applied Sciences, «Автоматическая настройка высоких тонов фортепиано», 2020).
- Музыканты расширяли октаву на 7,835 цента на ноте A4 и на 23,920 цента на ноте A6 (Jaatinen, Pätynen и Alho, JASA 2019).
- Негармоничные парциалы повышали воспринимаемую высоту низких тонов фортепиано примерно на два с половиной полутона (Anderson и Strong, JASA 2005).
- Сжатая расстройка обнаруживалась лучше, чем растянутая, у 101 слушателя, F1,100 = 228,87, p < 0,001 (Madsen и Oxenham, Communications Psychology 2024).
- Продольные колебания струн были слышны в слепых тестах вплоть до ноты C5 (Bank и Lehtonen, JASA 2010).
- Современный концертный рояль несёт около 210 000 Н суммарной нагрузки струн (Conklin, «Пять лекций по акустике фортепиано», 1990).
- Стальная фортепианная проволока не показывает значимого прироста предела прочности на растяжение с конца XIX века (Giordano, ASA, 161-е заседание, 2011).
- Самая высокая октава одного концертного рояля сдвинулась до 10 центов за год примерно из 40 концертов (Plath, ISMA 2019).
- Древесина удерживает 4,5% влаги при относительной влажности 20% и 16,0% при 80%, при 70 °F (USDA Forest Products Laboratory, Wood Handbook 2021).
1. Негармоничность по всей клавиатуре
Коэффициент B не является единым свойством «фортепиано»: он охватывает два порядка величины, от примерно 10⁻⁴ в середине клавиатуры до примерно 10⁻² для самых высоких нот. Спокойная зона - это тенор: Schuck и Young обнаружили, что негармоничность наименьшая в двух октавах ниже средней до и что повышение парциалов растёт примерно пропорционально квадрату номера парциала (Schuck и Young, JASA 1943).
Чтобы показать, что закон квадрата означает на практике, приведём наш собственный расчёт по стандартной формуле: при B = 10⁻⁴ 10-й парциал завышен в число раз, равное квадратному корню из 1,01, то есть на 1200 × log2(√1,01) ≈ 8,6 цента. При B = 10⁻³ тот же парциал завышен на 1200 × log2(√1,1) ≈ 82,5 цента, почти на полутон. Этот разрыв - сырьё, с которым приходится работать настройщикам.
| Показатель | Значение | Источник |
|---|---|---|
| Коэффициент негармоничности B, струны в середине клавиатуры и самые высокие ноты | Порядок 10⁻⁴ (0,0001) и порядок 10⁻² (0,01) | Dalmont, Acta Acustica 2021 |
| Регистр с наименьшей негармоничностью | Две октавы ниже средней до | Schuck и Young, JASA 1943 |
| Как растёт повышение парциалов с номером парциала | Примерно пропорционально квадрату номера моды | Schuck и Young, JASA 1943 |
| Наибольший сдвиг парциала, зафиксированный в этом исследовании (одна струна) | 15-й парциал примерно на частоте 16-й гармоники | Schuck и Young, JASA 1943 |
| Изменение B между соседними струнами, большинство пар струн в изученном высоком верхнем регистре | 5-18% | Applied Sciences, «Автоматическая настройка высоких тонов фортепиано», 2020 |
| Изменение B при изменении частоты струны на 3% | 6% | Applied Sciences, «Автоматическая настройка высоких тонов фортепиано», 2020 |
Скачок на 5-18% между соседями важен для автоматической настройки: верхний регистр нельзя настроить по одному глобальному значению B (Applied Sciences, Automatic Tuning of High Piano Tones 2020). Самые свежие доступные данные: измерения Schuck и Young относятся к 1943 году и остаются эталоном для картины по регистрам.
2. Рояль и пианино: басовые струны и размер инструмента
Размер проявляется прежде всего в басу. Самые низкие струны пианино могут достигать B = 10⁻³ против примерно 10⁻⁴ у большого рояля (Dalmont, Acta Acustica 2021), и в статье отмечено, что проблема особенно выражена у пианино со струнами длиной около 1 м. У пианино Yamaha C109, измеренного в этом исследовании, B неуклонно снижался с 4,5×10⁻⁴ на ноте Bb−1 по нумерации статьи до 3,2×10⁻⁴ на её ноте G0. В статье используется французская нумерация октав, в которой номера октав на единицу меньше, чем в научной системе, так что Bb−1 - это вторая клавиша от нижнего края.
То же исследование показывает, что проблему баса можно снизить конструктивно: небольшие грузы, закреплённые около конца каждой басовой струны с обмоткой, довели средний B до 1,85×10⁻⁴, значения, более близкого к большому роялю. Но размер - это не вся история. Wogram и Mori обнаружили, что три струны одной ноты могут различаться по негармоничности сильнее, чем рояль и пианино между собой (Wogram и Mori, ASA, 146-е заседание, 2003).
| Показатель | Значение | Источник |
|---|---|---|
| B самых низких струн, большой рояль и пианино | Около 10⁻⁴ и до 10⁻³ | Dalmont, Acta Acustica 2021 |
| Измеренный B, пианино Yamaha C109, от ноты Bb−1 статьи до её ноты G0 | Снижается с 4,5×10⁻⁴ до 3,2×10⁻⁴ | Dalmont, Acta Acustica 2021 |
| Средний B тех же басовых струн после закрепления небольших грузов около их концов | 1,85×10⁻⁴ | Dalmont, Acta Acustica 2021 |
| Различие негармоничности между 3 струнами одной ноты и между роялем и пианино | Внутри ноты может быть больше, чем между двумя инструментами | Wogram и Mori, ASA, 146-е заседание, 2003 |
| Суммарный уровень звука, рояль и пианино в одном сравнении | Рояль примерно на 2 дБ громче | Wogram и Mori, ASA, 146-е заседание, 2003 |
| Диапазон B для фортепианных струн в опубликованной модели настройки | от 0,0004 до 0,002 | Gràcia и Sanz-Perela, Reports@SCM 2017 |
Примечание к контексту: Gràcia и Sanz-Perela описывают B как «около 10⁻³» для фортепианных струн в целом (Reports@SCM 2017), и эта цифра в сопоставлении с измеренными значениями выше соответствует басу малых инструментов, а не середине рояля. Самые свежие доступные данные: Acta Acustica 2021.
3. Растяжка Railsback и субъективная октава
Кривая Railsback - это усреднённая растяжка, которую создают опытные мастера, и Giordano показал, что модель сенсорного диссонанса, построенная на измеренных спектрах фортепиано, её предсказывает (Giordano, JASA 2015). Более новый тест пошёл дальше: 15 настройщиков фортепиано и 18 оркестровых музыкантов настраивали синтезированные тоны, сохранявшие реальную негармоничность Steinway D, и получившаяся клавиатурная кривая напоминала кривую Railsback, с оставшимся различием F(1,16) = 16,05, p < 0,01, наибольшим ниже A1 (Jaatinen и Pätynen, JASA 2022).
Растяжка - не только привычка фортепиано. С тонами оркестровых инструментов вместо тонов фортепиано 36 музыкантов всё равно расширяли октаву, причём расширение росло в верхнем регистре, от 7,835 цента на ноте A4 до 23,920 цента на ноте A6 (Jaatinen, Pätynen и Alho, JASA 2019). Физика фортепиано и предпочтения слуха указывают в одну сторону, поэтому настройщики редко борются с растяжкой.
| Показатель | Значение | Источник |
|---|---|---|
| Расширение октавы, выбранное слушателями сверх точного соотношения 2:1, на A4 и на A6 | 7,835 цента и 23,920 цента (оба p < 0,001) | Jaatinen, Pätynen и Alho, JASA 2019 |
| Средний наклон растяжки в среднем регистре | 7,82 цента на октаву | Jaatinen, Pätynen и Alho, JASA 2019 |
| Различие между кривой настройки по реальным тонам Steinway D и кривой Railsback | F(1,16) = 16,05, p < 0,01, наибольшее ниже A1 | Jaatinen и Pätynen, JASA 2022 |
| Наименьшая разница высоты, которую слушатели способны заметить (разностный порог), в зависимости от частоты и громкости | Всего 10 центов | Gràcia и Sanz-Perela, Reports@SCM 2017 |
| Шаги высоты в методе автоматической настройки на основе энтропии | ±1 цент на шаг, на спектрах, сгруппированных в единицах по 1 центу | Hinrichsen, Revista Brasileira de Ensino de Física 2012 |
| Инструменты, на которых метод энтропии был проверен к моменту публикации | 1 пианино | Hinrichsen, Revista Brasileira de Ensino de Física 2012 |
Примечание о нетипичных данных: в оркестровом исследовании использовались флейты, язычковые, медные и струнные инструменты вместо фортепиано, поэтому его цифры описывают предпочтения слуха, а не негармоничность фортепиано. Его авторы отмечают, что их кривая немного отличается от кривой Railsback и типичной настройки Steinway D, но следует тому же тренду. Метод энтропии Hinrichsen воспроизвёл растяжку настройки на слух на одном пианино (Hinrichsen 2012), поэтому его следует считать подтверждением концепции.
4. Как слушатели воспринимают негармоничность и расстройку
Негармоничность меняет не только строй, но и воспринимаемую высоту. Жюри из 21 слушателя воспринимало негармоничные низкие тоны фортепиано примерно на два с половиной полутона выше, чем гармоничные версии, а на более высоких основных тонах разница сокращалась примерно до одной восьмой полутона (Anderson и Strong, JASA 2005). Настройщик слышит реальную струну, а не учебниковую.
Слух к тому же асимметричен. У 101 участника расстройка в 50 центов в сторону сжатия обнаруживалась значимо лучше, чем такая же расстройка в сторону растяжения (Madsen и Oxenham, Communications Psychology 2024). Это согласуется с растяжкой: ошибки на широкой стороне заметить труднее всего. Здесь слух важнее возраста, как показало последующее исследование с 91 участником (Madsen et al., Hearing Research 2025), и этот вывод связан с нашей статистикой потери слуха у музыкантов. О том, насколько точно певцы и модели синтеза попадают в высоту в центах, см. нашу статистику точности высоты при синтезе певческого голоса.
| Показатель | Значение | Источник |
|---|---|---|
| Повышение высоты из-за негармоничных парциалов, самые низкие проверенные основные тоны (21 слушатель) | Около двух с половиной полутонов | Anderson и Strong, JASA 2005 |
| Повышение высоты из-за негармоничных парциалов, более высокие проверенные основные тоны | Около одной восьмой полутона | Anderson и Strong, JASA 2005 |
| Обнаружение сжатой и растянутой расстройки в 50 центов (101 участник) | Сжатая обнаруживалась значимо лучше, F1,100 = 228,87, p < 0,001 | Madsen и Oxenham, Communications Psychology 2024 |
| Крупнейший отдельный эксперимент в этой серии по расстройке | 160 участников | Madsen и Oxenham, Communications Psychology 2024 |
| Фактор, связанный с худшим восприятием расстройки (91 участник) | Потеря слуха, но не возраст | Madsen et al., Hearing Research 2025 |
| Самая высокая нота, на которой продольные колебания струн были слышны в ABX-тестах (два рояля, одно пианино) | C5 | Bank и Lehtonen, JASA 2010 |
| Изменение высоты только из-за смены начальных фаз парциалов, басовые тоны A0 (27,5 Гц, 100 парциалов) | Октава, квинта или большая терция | Galembo, Askenfelt, Cuddy и Russo, JASA 2001 |
Примечание к контексту: продольные колебания - это растяжения вдоль длины струны, а не боковое движение, определяющее высоту, а ABX-тест - это слепое сравнение, в котором слушатели говорят, какой из двух версий соответствует третий образец. Bank и Lehtonen сочли эффект едва заметным между A3 и C5 (Bank и Lehtonen, JASA 2010), тогда как в глубоком басу одни лишь фазовые соотношения могут сдвигать воспринимаемую высоту на большие интервалы (Galembo et al., JASA 2001).
5. Натяжение струн, проволока и мензура
В фортепианном строении «мензура» - это не музыкальная гамма, а проектная таблица длин, диаметров и натяжений струн. Её центральная цифра - тяга: современная фортепианная струна тянет в среднем с силой около 830 Н, почти в 12 раз больше 70 Н у струны фортепиано Кристофори 1720 года (наше отношение: 830 ÷ 70 ≈ 11,9), а полная нагрузка концертного рояля длиной 9 футов (274 см) составляет около 210 000 Н (Conklin, «Чугунная рама», «Пять лекций по акустике фортепиано», 1990). Чугунная рама, выдерживающая эту нагрузку, весит от 160 до 180 кг у концертного рояля.
Проволока задаёт потолок натяжения. Стальная проволока для музыкальных инструментов прибавила около 30% предела прочности на растяжение между 1850 и 1900 годами и не показывает значимого улучшения с конца XIX века, так что пределы, с которыми сталкивался конструктор в 2011 году, были теми же, что и в 1900-м (Giordano, ASA, 161-е заседание, 2011).
| Показатель | Значение | Источник |
|---|---|---|
| Средняя тяга на струну, фортепиано Кристофори 1720 года и современное фортепиано | Около 70 Н и около 830 Н | Conklin, «Пять лекций по акустике фортепиано», 1990 |
| Суммарная нагрузка струн, Кристофори 1720 года и современный концертный рояль | Около 7 500 Н и около 210 000 Н (47 000 фунтов-силы) | Conklin, «Пять лекций по акустике фортепиано», 1990 |
| Вес чугунной рамы концертного рояля | от 160 до 180 кг | Conklin, «Пять лекций по акустике фортепиано», 1990 |
| Натяжение басовых струн на клавишах с 11 по 20 рояля длиной 161 см, на трёх экспериментальных наборах струн | от 831 Н до 1 131 Н | Choi, Yoon, Kim и Sung, Сеульский национальный университет, 2002 |
| Прирост предела прочности стальной фортепианной проволоки, 1850-1900 годы и с конца XIX века | Около 30% и отсутствие значимого улучшения | Giordano, ASA, 161-е заседание, 2011 |
| Число струн в типичном фортепиано | Примерно 220 | Piano Technicians Guild, Технический бюллетень 1 (пересмотрен в 1994 году) |
| Самый низкий резонанс деки испытательного фортепиано, струны под настроечным натяжением и полностью ослабленное натяжение | Смещается со 115 Гц до 90 Гц | Wogram, «Пять лекций по акустике фортепиано», 1990 |
Примечание к контексту: натяжения из работы Choi et al. получены на одном рояле длиной 161 см, оснащённом тремя разными наборами басовых струн для эксперимента по негармоничности (Choi et al. 2002). Wogram обнаружил, что резонансы выше 200 Гц практически не зависят от натяжения струн (Wogram 1990). Самые свежие доступные данные: 1990-2011 годы.
6. Стабильность строя, влажность и дрейф
Дека - это тонкая деревянная панель с лёгким выгибом вверх, который называют выпуклостью, и влажность меняет этот выгиб. Когда дека разбухает, выпуклость сильнее прижимает мост к струнам, и высота повышается, особенно в средних октавах (Piano Technicians Guild, Humidity Control). Целевой показатель гильдии для климатических систем внутри фортепиано - относительная влажность 42%. Данные по древесине объясняют причину: при 70 °F древесина приходит к влагосодержанию 4,5% при относительной влажности 20% и к 16,0% при 80% (USDA Forest Products Laboratory, Wood Handbook 2021), а ситкинская ель (Picea sitchensis) при полном высыхании усыхает на 7,5% в тангенциальном направлении, но лишь на 4,3% в радиальном.
Измеренный дрейф на одном концертном инструменте был умеренным. Спустя год и около 40 концертов строй одного концертного рояля сдвинулся примерно на 2,5 цента в средней части диапазона и до 10 центов в самой высокой октаве, тогда как басовые клавиши с 1 по 20 не показали измеримых изменений, кроме трёх выбросов (Plath, ISMA 2019).
| Показатель | Значение | Источник |
|---|---|---|
| Отклонение строя через год и около 40 концертов, средняя часть диапазона | Около 2,5 цента | Plath, ISMA 2019 |
| Отклонение строя через год и около 40 концертов, самая высокая октава | До 10 центов | Plath, ISMA 2019 |
| Отклонение строя через год, басовые клавиши с 1 по 20 | Измеримой разницы нет, кроме трёх выбросов | Plath, ISMA 2019 |
| Разница выпуклости деки между двумя датами измерения | 1 ± 0,5 мм | Plath, ISMA 2019 |
| Рекомендуемая относительная влажность внутри фортепиано для систем климат-контроля | 42% | Piano Technicians Guild, «Контроль влажности» |
| Рекомендуемая частота настройки | от 3 до 4 настроек в первый год, не менее 2 в год после этого | Piano Technicians Guild, Технический бюллетень 1 (пересмотрен в 1994 году) |
| Равновесное влагосодержание древесины при 70 °F, относительная влажность 20% и 80% | 4,5% и 16,0% | USDA Forest Products Laboratory, Wood Handbook 2021 |
| Усушка ситкинской ели от свежего до абсолютно сухого состояния, радиальная и тангенциальная | 4,3% и 7,5% | USDA Forest Products Laboratory, Wood Handbook 2021 |
Примечание к контексту: концертный зал в этом исследовании отапливается осенью и зимой, что снижает относительную влажность до 20% в крайнем случае, а оба измерения были проведены зимой, поэтому годовой размах выпуклости, достигающий нескольких миллиметров, не был зафиксирован. Рекомендации гильдии по частоте настройки взяты из её бюллетеня о подъёме строя (PTG Technical Bulletin 1). Равновесное влагосодержание - это уровень влаги, при котором древесина при заданной влажности воздуха не набирает и не теряет воду. Самые свежие доступные данные: исследование дрейфа 2019 года охватывает один инструмент.
Итоги: негармоничность струн и растяжка строя фортепиано в цифрах
| Показатель | Значение | Источник |
|---|---|---|
| B самых низких струн, большой рояль и пианино | Около 10⁻⁴ и до 10⁻³ | Dalmont, Acta Acustica 2021 |
| Регистр с наименьшей негармоничностью | Две октавы ниже средней до | Schuck и Young, JASA 1943 |
| Изменение B между соседними струнами высокого верхнего регистра | 5-18% | Applied Sciences 2020 |
| Разброс негармоничности среди 3 струн одной ноты | Может превышать различие между роялем и пианино | Wogram и Mori, ASA 2003 |
| Расширение октавы, выбранное слушателями, A4 и A6 | 7,835 цента и 23,920 цента | Jaatinen, Pätynen и Alho, JASA 2019 |
| Кривая настройки с реальной негармоничностью и кривая Railsback | F(1,16) = 16,05, p < 0,01 | Jaatinen и Pätynen, JASA 2022 |
| Наименьшая заметная разница высоты | Всего 10 центов | Gràcia и Sanz-Perela, Reports@SCM 2017 |
| Повышение высоты из-за негармоничных парциалов, самые низкие тоны | Около двух с половиной полутонов | Anderson и Strong, JASA 2005 |
| Обнаружение сжатой и растянутой расстройки в 50 центов | Сжатая обнаруживалась лучше, F1,100 = 228,87, p < 0,001 | Madsen и Oxenham, Communications Psychology 2024 |
| Восприятие расстройки, 91 участник | Связано с потерей слуха, а не с возрастом | Madsen et al., Hearing Research 2025 |
| Слышимые продольные колебания струн | До C5 | Bank и Lehtonen, JASA 2010 |
| Изменение высоты только из-за фаз парциалов, тоны A0 | Октава, квинта или большая терция | Galembo et al., JASA 2001 |
| Суммарная нагрузка струн, современный концертный рояль | Около 210 000 Н | Conklin 1990 |
| Натяжение басовых струн, рояль длиной 161 см | от 831 Н до 1 131 Н | Choi et al. 2002 |
| Прирост предела прочности стальной проволоки, 1850-1900 годы | Около 30% | Giordano, ASA 2011 |
| Дрейф строя после года концертов, средняя часть диапазона и верхняя октава | Около 2,5 цента и до 10 центов | Plath, ISMA 2019 |
| Рекомендуемая относительная влажность внутри фортепиано | 42% | Piano Technicians Guild |
| Влагосодержание древесины при относительной влажности 20% и 80% (70 °F) | 4,5% и 16,0% | USDA Wood Handbook 2021 |
Методология и источники
Мы провели целевые поиски по измерению негармоничности, растяжке Railsback, восприятию октав, натяжению струн и мензуре, а также дрейфу под действием влажности, после чего прочитали каждую цифру в первичном документе (статья, лекция, профессиональное руководство или правительственный справочник). Цифры из фрагментов поисковой выдачи, сообщения с форумов и блоги настройщиков были исключены. Это тема измерений, поэтому большая часть данных старше трёх лет: физика стальных струн не стареет, но в каждом разделе указаны самые свежие доступные данные.
- Dalmont, Piano bass strings with reduced inharmonicity: theory and experiments, Acta Acustica т. 5, 2021
- Schuck и Young, Observations on the vibrations of piano strings, JASA 15, 1943 (запись реферата, Мюнхенский технический университет)
- Automatic Tuning of High Piano Tones, Applied Sciences 10(6), 2020
- Wogram и Mori, Is a grand piano always better than an upright piano?, ASA, 146-е заседание, 2003
- Gràcia и Sanz-Perela, The wave equation for stiff strings and piano tuning, Reports@SCM т. 3, 2017
- Giordano, Explaining the Railsback stretch in terms of the inharmonicity of piano tones and sensory dissonance, JASA 138(4), 2015
- Jaatinen и Pätynen, Effect of inharmonicity on pitch perception and subjective tuning of piano tones, JASA 152(2), 2022
- Jaatinen, Pätynen и Alho, Octave stretching phenomenon with complex tones of orchestral instruments, JASA 146(5), 2019
- Hinrichsen, Entropy-based tuning of musical instruments, Revista Brasileira de Ensino de Física 34(2), 2012
- Anderson и Strong, The effect of inharmonic partials on pitch of piano tones, JASA 117(5), 2005
- Madsen и Oxenham, Mistuning perception in music is asymmetric and relies on both beats and inharmonicity, Communications Psychology 2024
- Madsen, Kreft, Purmalietis, Dau и Oxenham, Association between hearing loss but not age and mistuning perception in music, Hearing Research т. 467, 2025
- Bank и Lehtonen, Perception of longitudinal components in piano string vibrations, JASA 128(3), 2010
- Galembo, Askenfelt, Cuddy и Russo, Effects of relative phases on pitch and timbre in the piano bass range, JASA 110(3), 2001
- Conklin, The cast-iron plate, Five Lectures on the Acoustics of the Piano, Королевская шведская музыкальная академия, 1990
- Wogram, Influence of string tension, Five Lectures on the Acoustics of the Piano, 1990
- Choi, Yoon, Kim и Sung, Influence of inharmonicity on the tone of a piano, Сеульский национальный университет, 2002
- Giordano, Evolution of music wire and its impact on the development of the piano, ASA, 161-е заседание, 2011
- Plath, Influence of long-term playing on the tonal characteristics of a concert piano, ISMA 2019
- Piano Technicians Guild, Humidity Control
- Piano Technicians Guild, Technical Bulletin 1: Pitch Raising (пересмотрено в 1994 году)
- USDA Forest Products Laboratory, Wood Handbook FPL-GTR-282, глава 4: Moisture relations and physical properties of wood, 2021
- Наблюдение по данным: опубликованные диапазоны B противоречат друг другу. Hinrichsen (2012) приводит B от 0,0002 в басу до 0,4 в верхнем регистре, тогда как статья Acta Acustica 2021 года относит самые высокие ноты к порядку 10⁻², поэтому мы используем порядки величины из Acta Acustica. Значения в центах для крайних точек кривой Railsback нам не удалось прочитать ни в одном доступном нам первичном источнике, поэтому в этом обзоре нет единой цифры «центов растяжки на A0 и C8»; ходящие в сети цифры восходят к вики и форумам. Исследование дрейфа и таблица натяжений Choi et al. получены каждое на одном инструменте. Бюллетень Piano Technicians Guild последний раз пересматривался в 1994 году, а таблица влагосодержания в Wood Handbook выведена в основном для ситкинской ели.
Последнее обновление: 7 ноября 2026 года. Мы обновляем этот обзор ежеквартально, и следующее обновление ожидается, когда Журнал Акустического общества Америки (JASA) опубликует новые работы по акустике фортепиано.