En un piano vertical, el coeficiente de inarmonicidad B de las cuerdas más graves puede llegar a 10⁻³, mientras que en un piano de cola grande se mantiene cerca de 10⁻⁴, una diferencia de unas diez veces (Dalmont, Acta Acustica 2021). Es una de las diferencias medidas más claras entre pianos pequeños y grandes. El oído añade su propio sesgo: 36 músicos ajustaron la octava 7,835 cents más ancha en A4 y 23,920 cents más ancha en A6 (Jaatinen, Pätynen y Alho, JASA 2019), y los parciales inarmónicos hicieron que los tonos graves del piano sonaran unos dos semitonos y medio más agudos para un jurado de 21 oyentes (Anderson y Strong, JASA 2005). La afinación tampoco se queda quieta: un año de conciertos movió hasta 10 cents la octava más aguda de un piano de cola (Plath, ISMA 2019). Este informe trata de la física de las cuerdas, no del negocio de los pianos, que sigue nuestro informe de estadísticas del mercado de pianos. Reunimos datos del Journal of the Acoustical Society of America, de Acta Acustica, de la serie de conferencias de la Royal Swedish Academy of Music sobre acústica del piano, de la Piano Technicians Guild, del USDA Forest Products Laboratory y de estudios de percepción revisados por pares en Communications Psychology y Hearing Research.
Primero, algunos términos en lenguaje sencillo. Un parcial es uno de los armónicos superiores que produce una cuerda por encima de su frecuencia más baja (la fundamental). Inarmonicidad significa que esos parciales quedan progresivamente por encima de los múltiplos enteros exactos, porque el alambre de acero es rígido y no perfectamente flexible. El coeficiente de inarmonicidad B mide la intensidad de este efecto en una cuerda: en el modelo estándar, el parcial n se sitúa en n veces la fundamental multiplicado por la raíz cuadrada de (1 + Bn²) (Gràcia y Sanz-Perela, Reports@SCM 2017). Un cent es una centésima de semitono (Hinrichsen, Revista Brasileira de Ensino de Física 2012). Afinación con estiramiento significa afinar los graves ligeramente por debajo y los agudos ligeramente por encima del temperamento igual matemático.
TL;DR
- B ronda 10⁻⁴ en las cuerdas más graves de un piano de cola grande, pero puede llegar a 10⁻³ en un vertical (Dalmont, Acta Acustica 2021).
- La inarmonicidad es menor en las dos octavas por debajo del do central (Schuck y Young, JASA 1943).
- B cambia entre un 5% y un 18% entre la mayoría de las cuerdas vecinas en la zona de agudos altos estudiada (Applied Sciences, Automatic Tuning of High Piano Tones 2020).
- Los músicos ensancharon la octava 7,835 cents en A4 y 23,920 cents en A6 (Jaatinen, Pätynen y Alho, JASA 2019).
- Los parciales inarmónicos elevaron la altura percibida de los tonos graves del piano en unos dos semitonos y medio (Anderson y Strong, JASA 2005).
- Una desafinación comprimida fue detectada mejor que una estirada por 101 oyentes, F1,100 = 228,87, p < 0,001 (Madsen y Oxenham, Communications Psychology 2024).
- Las vibraciones longitudinales de las cuerdas fueron audibles en pruebas ciegas hasta la nota C5 (Bank y Lehtonen, JASA 2010).
- Un piano de cola de concierto moderno soporta unos 210.000 N de carga total en las cuerdas (Conklin, Five Lectures on the Acoustics of the Piano 1990).
- El alambre de acero para pianos no ha mostrado una mejora significativa de resistencia a la tracción desde finales del siglo XIX (Giordano, ASA, 161.ª reunión, 2011).
- La octava más aguda de un piano de cola de concierto se movió hasta 10 cents en un año de unos 40 conciertos (Plath, ISMA 2019).
- La madera retiene un 4,5% de humedad con un 20% de humedad relativa y un 16,0% con un 80%, a 70 °F (USDA Forest Products Laboratory, Wood Handbook 2021).
1. Inarmonicidad a lo Largo del Teclado
El coeficiente B no es una propiedad única “del piano”: abarca dos órdenes de magnitud, desde cerca de 10⁻⁴ en el centro del teclado hasta cerca de 10⁻² en las notas más agudas. La zona tranquila es la del tenor: Schuck y Young hallaron que la inarmonicidad es menor en las dos octavas por debajo del do central y que el aumento de los parciales crece aproximadamente con el cuadrado del número del parcial (Schuck y Young, JASA 1943).
Para mostrar lo que significa la ley del cuadrado en la práctica, este es nuestro propio cálculo a partir de la fórmula estándar: con B = 10⁻⁴, el parcial 10 queda más agudo por un factor igual a la raíz cuadrada de 1,01, es decir, 1200 × log2(√1,01) ≈ 8,6 cents. Con B = 10⁻³, el mismo parcial queda más agudo en 1200 × log2(√1,1) ≈ 82,5 cents, cerca de un semitono. Esa brecha es la materia prima con la que tienen que trabajar los afinadores.
| Métrica | Valor | Fuente |
|---|---|---|
| Coeficiente de inarmonicidad B, cuerdas del centro del teclado frente a las notas más agudas | Orden de 10⁻⁴ (0,0001) frente a orden de 10⁻² (0,01) | Dalmont, Acta Acustica 2021 |
| Registro con menor inarmonicidad | Las dos octavas por debajo del do central | Schuck y Young, JASA 1943 |
| Cómo crece el aumento de los parciales con el número del parcial | Aproximadamente con el cuadrado del número del modo | Schuck y Young, JASA 1943 |
| Mayor desplazamiento de un parcial reportado en ese estudio (una cuerda) | El parcial 15 a cerca de la frecuencia de un armónico 16 | Schuck y Young, JASA 1943 |
| Cambio de B entre cuerdas vecinas, la mayoría de los pares de cuerdas en la zona de agudos altos estudiada | 5% a 18% | Applied Sciences, Automatic Tuning of High Piano Tones 2020 |
| Cambio de B producido por un cambio del 3% en la frecuencia de la cuerda | 6% | Applied Sciences, Automatic Tuning of High Piano Tones 2020 |
El salto del 5% al 18% entre vecinas importa para la afinación automática: los agudos no pueden afinarse a partir de un único valor global de B (Applied Sciences, Automatic Tuning of High Piano Tones 2020). Datos más recientes disponibles: las mediciones de Schuck y Young datan de 1943 y siguen siendo la referencia para el patrón por registro.
2. Piano de Cola frente a Vertical: Cuerdas Graves y Tamaño del Piano
El tamaño se nota primero en los graves. Las cuerdas más graves de un vertical pueden llegar a B = 10⁻³, frente a cerca de 10⁻⁴ en un piano de cola grande (Dalmont, Acta Acustica 2021), y el artículo señala que el problema es particularmente marcado en los verticales con cuerdas de alrededor de 1 m de longitud. En el vertical Yamaha C109 medido en ese estudio, B descendió de forma constante desde 4,5×10⁻⁴ en el Bb−1 del artículo hasta 3,2×10⁻⁴ en su G0. El artículo usa la numeración francesa de octavas, en la que los números de octava son una unidad menores que en el sistema científico, de modo que Bb−1 es la segunda tecla desde el extremo grave.
El mismo estudio muestra que el problema de los graves puede reducirse mediante diseño: pequeñas masas fijadas cerca del extremo de cada cuerda grave entorchada llevaron el B medio a 1,85×10⁻⁴, un valor más cercano al de un piano de cola grande. Aun así, el tamaño no lo explica todo. Wogram y Mori hallaron que las tres cuerdas de una misma nota pueden diferir en inarmonicidad más de lo que difiere un piano de cola de un vertical (Wogram y Mori, ASA, 146.ª reunión, 2003).
| Métrica | Valor | Fuente |
|---|---|---|
| B de las cuerdas más graves, piano de cola grande frente a piano vertical | Cerca de 10⁻⁴ frente a hasta 10⁻³ | Dalmont, Acta Acustica 2021 |
| B medido, vertical Yamaha C109, desde el Bb−1 del artículo hasta su G0 | Disminuye de 4,5×10⁻⁴ a 3,2×10⁻⁴ | Dalmont, Acta Acustica 2021 |
| B medio de las mismas cuerdas graves tras fijar pequeñas masas cerca de sus extremos | 1,85×10⁻⁴ | Dalmont, Acta Acustica 2021 |
| Diferencia de inarmonicidad entre las 3 cuerdas de una nota frente a la existente entre un piano de cola y un vertical | Puede ser mayor dentro de la nota que entre los 2 instrumentos | Wogram y Mori, ASA, 146.ª reunión, 2003 |
| Nivel sonoro total, piano de cola frente a piano vertical en la misma comparación | Piano de cola unos 2 dB más alto | Wogram y Mori, ASA, 146.ª reunión, 2003 |
| Rango de B usado para las cuerdas de piano en un modelo de afinación publicado | 0,0004 a 0,002 | Gràcia y Sanz-Perela, Reports@SCM 2017 |
Nota de contexto: Gràcia y Sanz-Perela describen B como “alrededor de 10⁻³” para las cuerdas de piano en general (Reports@SCM 2017), una cifra que, comparada con los valores medidos anteriores, corresponde a los graves de instrumentos más pequeños y no al centro de un piano de cola. Datos más recientes disponibles: Acta Acustica 2021.
3. El Estiramiento de Railsback y la Octava Subjetiva
La curva de Railsback es el estiramiento medio que producen los técnicos expertos, y Giordano demostró que un modelo de disonancia sensorial alimentado con espectros medidos de pianos lo predice (Giordano, JASA 2015). Una prueba más reciente fue más lejos: 15 afinadores de piano y 18 músicos de orquesta afinaron tonos sintetizados que conservaban la inarmonicidad real de un Steinway D, y la curva de teclado resultante se parecía a la curva de Railsback, con una diferencia restante de F(1,16) = 16,05, p < 0,01, mayor por debajo de A1 (Jaatinen y Pätynen, JASA 2022).
El estiramiento no es solo una costumbre del piano. Con tonos de instrumentos de orquesta en lugar de tonos de piano, 36 músicos ensancharon igualmente la octava, y el ensanchamiento creció en los agudos, de 7,835 cents en A4 a 23,920 cents en A6 (Jaatinen, Pätynen y Alho, JASA 2019). La física del piano y la preferencia del oído apuntan en la misma dirección, por lo que los afinadores rara vez luchan contra el estiramiento.
| Métrica | Valor | Fuente |
|---|---|---|
| Ensanchamiento de la octava elegido por los oyentes más allá de la proporción exacta 2:1, en A4 frente a A6 | 7,835 cents frente a 23,920 cents (ambos p < 0,001) | Jaatinen, Pätynen y Alho, JASA 2019 |
| Pendiente media de estiramiento en el registro medio | 7,82 cents por octava | Jaatinen, Pätynen y Alho, JASA 2019 |
| Diferencia entre la curva de afinación obtenida con tonos reales de un Steinway D y la curva de Railsback | F(1,16) = 16,05, p < 0,01, mayor por debajo de A1 | Jaatinen y Pätynen, JASA 2022 |
| Menor diferencia de altura que los oyentes pueden notar (umbral diferencial), según la frecuencia y el volumen | Tan pequeña como 10 cents | Gràcia y Sanz-Perela, Reports@SCM 2017 |
| Pasos de altura usados por un método de afinación automática basado en entropía | ±1 cent por paso, sobre espectros agrupados en unidades de 1 cent | Hinrichsen, Revista Brasileira de Ensino de Física 2012 |
| Instrumentos en los que se había probado el método de entropía en el momento de la publicación | 1 piano vertical | Hinrichsen, Revista Brasileira de Ensino de Física 2012 |
Nota sobre valores atípicos: el estudio con instrumentos de orquesta usó flautas, instrumentos de lengüeta, metales y cuerdas en lugar de piano, por lo que sus cifras describen la preferencia del oído, no la inarmonicidad del piano. Sus autores señalan que su curva difiere ligeramente de la curva de Railsback y de la afinación típica de un Steinway D, pero sigue la misma tendencia. El método de entropía de Hinrichsen reprodujo el estiramiento de una afinación de oído en un piano vertical (Hinrichsen 2012), así que debe tomarse como una prueba de concepto.
4. Cómo Oyen los Oyentes la Inarmonicidad y la Desafinación
La inarmonicidad no solo cambia la afinación, cambia la altura percibida. Un jurado de 21 oyentes percibió los tonos graves inarmónicos del piano unos dos semitonos y medio más agudos que las versiones armónicas, una diferencia que se reducía a cerca de un octavo de semitono en fundamentales más agudas (Anderson y Strong, JASA 2005). Un afinador oye la cuerda real, no la del libro de texto.
El oído también es asimétrico. Entre 101 participantes, una desafinación de 50 cents en la dirección comprimida se detectó significativamente mejor que la misma desafinación en la dirección estirada (Madsen y Oxenham, Communications Psychology 2024). Eso concuerda con el estiramiento: los errores del lado ancho son los más difíciles de notar. Aquí la audición importa más que la edad, como halló un estudio de seguimiento con 91 personas (Madsen et al., Hearing Research 2025), un punto que se conecta con nuestras estadísticas de pérdida auditiva en músicos. Para ver con qué precisión aciertan la altura en cents los cantantes y los modelos de síntesis, consulta nuestras estadísticas de precisión de altura en la síntesis de voz cantada.
| Métrica | Valor | Fuente |
|---|---|---|
| Aumento de altura causado por parciales inarmónicos, fundamentales más graves probadas (21 oyentes) | Unos dos semitonos y medio | Anderson y Strong, JASA 2005 |
| Aumento de altura causado por parciales inarmónicos, fundamentales más agudas probadas | Cerca de un octavo de semitono | Anderson y Strong, JASA 2005 |
| Detección de una desafinación de 50 cents comprimida frente a una estirada (101 participantes) | La comprimida se detectó significativamente mejor, F1,100 = 228,87, p < 0,001 | Madsen y Oxenham, Communications Psychology 2024 |
| Mayor experimento individual de esa serie sobre desafinación | 160 participantes | Madsen y Oxenham, Communications Psychology 2024 |
| Factor asociado con peor percepción de la desafinación (91 participantes) | Pérdida auditiva, pero no la edad | Madsen et al., Hearing Research 2025 |
| Nota más aguda en la que las vibraciones longitudinales de las cuerdas fueron audibles en pruebas ABX (dos pianos de cola, un vertical) | C5 | Bank y Lehtonen, JASA 2010 |
| Cambio de altura causado solo por cambiar las fases iniciales de los parciales, tonos graves de A0 (27,5 Hz, 100 parciales) | Una octava, una quinta o una tercera mayor | Galembo, Askenfelt, Cuddy y Russo, JASA 2001 |
Nota de contexto: las vibraciones longitudinales son movimientos de elongación a lo largo de la cuerda, no el movimiento lateral que fija la altura, y una prueba ABX es una comparación a ciegas en la que los oyentes indican a cuál de dos versiones corresponde una tercera muestra. Bank y Lehtonen consideraron el efecto sutil entre A3 y C5 (Bank y Lehtonen, JASA 2010), mientras que en los graves profundos las relaciones de fase por sí solas pueden desplazar la altura percibida en intervalos grandes (Galembo et al., JASA 2001).
5. Tensión de las Cuerdas, Alambre y Diseño de la Escala
En la construcción de pianos, la “escala” no es una escala musical, sino la tabla de diseño de longitudes, diámetros y tensiones de las cuerdas. Su cifra central es la tracción: una cuerda de piano contemporáneo tira en promedio con cerca de 830 N, casi 12 veces los 70 N de una cuerda del piano de Cristofori de 1720 (nuestra proporción: 830 ÷ 70 ≈ 11,9), y la carga total de un piano de cola de concierto de 9 pies (274 cm) es de unos 210.000 N (Conklin, The cast-iron plate, Five Lectures on the Acoustics of the Piano 1990). El bastidor de hierro que resiste esa carga pesa de 160 a 180 kg en un piano de cola de concierto.
El alambre fija el techo de la tensión. El alambre de acero para música ganó cerca de un 30% de resistencia a la tracción entre 1850 y 1900 y no ha mostrado una mejora significativa desde finales del siglo XIX, de modo que los límites a los que se enfrentaba un diseñador en 2011 eran los de 1900 (Giordano, ASA, 161.ª reunión, 2011).
| Métrica | Valor | Fuente |
|---|---|---|
| Tracción media por cuerda, piano de Cristofori de 1720 frente a piano contemporáneo | Unos 70 N frente a unos 830 N | Conklin, Five Lectures on the Acoustics of the Piano 1990 |
| Carga total de las cuerdas, Cristofori de 1720 frente a piano de cola de concierto moderno | Unos 7.500 N frente a unos 210.000 N (47.000 lbf) | Conklin, Five Lectures on the Acoustics of the Piano 1990 |
| Peso del bastidor de hierro fundido de un piano de cola de concierto | 160 a 180 kg | Conklin, Five Lectures on the Acoustics of the Piano 1990 |
| Tensión de las cuerdas graves en las teclas 11 a 20 de un piano de cola de 161 cm, en tres juegos experimentales de cuerdas | 831 N a 1.131 N | Choi, Yoon, Kim y Sung, Seoul National University 2002 |
| Aumento de resistencia a la tracción del alambre de acero para pianos, 1850 a 1900 frente a desde finales del siglo XIX | Cerca del 30% frente a ninguna mejora significativa | Giordano, ASA, 161.ª reunión, 2011 |
| Número de cuerdas de un piano típico | Aproximadamente 220 | Piano Technicians Guild, Technical Bulletin 1 (revisado en 1994) |
| Resonancia más baja de la tabla armónica de un piano de prueba, cuerdas afinadas frente a tensión totalmente liberada | Pasa de 115 Hz a 90 Hz | Wogram, Five Lectures on the Acoustics of the Piano 1990 |
Nota de contexto: las tensiones de Choi et al. proceden de un piano de cola de 161 cm equipado con tres juegos distintos de cuerdas graves para un experimento de inarmonicidad (Choi et al. 2002). Wogram halló que las resonancias por encima de 200 Hz casi no se ven afectadas por la tensión de las cuerdas (Wogram 1990). Datos más recientes disponibles: 1990 a 2011.
6. Estabilidad de la Afinación, Humedad y Deriva
La tabla armónica es un panel delgado de madera con un leve arqueo hacia arriba, llamado comba, y la humedad modifica ese arqueo. Cuando la tabla se hincha, la comba empuja el puente con más fuerza contra las cuerdas y la afinación sube, sobre todo en las octavas centrales (Piano Technicians Guild, Humidity Control). El objetivo de la asociación para los sistemas de climatización dentro del piano es un 42% de humedad relativa. Las cifras de la madera muestran por qué: a 70 °F, la madera se estabiliza en un 4,5% de contenido de humedad con un 20% de humedad relativa y en un 16,0% con un 80% (USDA Forest Products Laboratory, Wood Handbook 2021), y la pícea de Sitka (Picea sitchensis) se contrae un 7,5% en dirección tangencial pero un 4,3% en dirección radial al secarse por completo.
La deriva medida en un instrumento de concierto fue modesta. Tras un año y unos 40 conciertos, la afinación de un piano de cola de concierto se había movido unos 2,5 cents en el registro medio y hasta 10 cents en la octava más aguda, mientras que las teclas graves 1 a 20 no mostraron ningún cambio medible salvo tres valores atípicos (Plath, ISMA 2019).
| Métrica | Valor | Fuente |
|---|---|---|
| Desviación de la afinación tras un año y unos 40 conciertos, registro medio | Unos 2,5 cents | Plath, ISMA 2019 |
| Desviación de la afinación tras un año y unos 40 conciertos, octava más aguda | Hasta 10 cents | Plath, ISMA 2019 |
| Desviación de la afinación tras un año, teclas graves 1 a 20 | Ninguna diferencia medible, salvo tres valores atípicos | Plath, ISMA 2019 |
| Diferencia de comba de la tabla armónica entre las dos fechas de medición | 1 ± 0,5 mm | Plath, ISMA 2019 |
| Humedad relativa recomendada dentro del piano para los sistemas de control climático | 42% | Piano Technicians Guild, Humidity Control |
| Frecuencia de afinación recomendada | 3 a 4 afinaciones durante el primer año, al menos 2 al año después de eso | Piano Technicians Guild, Technical Bulletin 1 (revisado en 1994) |
| Contenido de humedad de equilibrio de la madera a 70 °F, 20% frente a 80% de humedad relativa | 4,5% frente a 16,0% | USDA Forest Products Laboratory, Wood Handbook 2021 |
| Contracción de la pícea de Sitka desde el estado verde hasta el secado en horno, radial frente a tangencial | 4,3% frente a 7,5% | USDA Forest Products Laboratory, Wood Handbook 2021 |
Nota de contexto: la sala de conciertos de ese estudio se calefacciona en otoño e invierno, lo que baja la humedad relativa hasta un 20% en el extremo, y ambas mediciones se hicieron en invierno, por lo que no se captó la oscilación anual de la comba, de hasta varios milímetros. La recomendación de afinación de la asociación procede de su boletín sobre elevación de afinación (PTG Technical Bulletin 1). El contenido de humedad de equilibrio es el nivel de humedad en el que la madera ni gana ni pierde agua a una humedad dada. Datos más recientes disponibles: el estudio de deriva de 2019 abarca un único instrumento.
Resumen: Inarmonicidad de las Cuerdas y Estiramiento de la Afinación del Piano en Cifras
| Métrica | Valor | Fuente |
|---|---|---|
| B de las cuerdas más graves, piano de cola grande frente a vertical | Cerca de 10⁻⁴ frente a hasta 10⁻³ | Dalmont, Acta Acustica 2021 |
| Registro con menor inarmonicidad | Las dos octavas por debajo del do central | Schuck y Young, JASA 1943 |
| Cambio de B entre cuerdas vecinas de los agudos altos | 5% a 18% | Applied Sciences 2020 |
| Dispersión de la inarmonicidad entre las 3 cuerdas de una nota | Puede superar la diferencia entre piano de cola y vertical | Wogram y Mori, ASA 2003 |
| Ensanchamiento de la octava elegido por los oyentes, A4 frente a A6 | 7,835 cents frente a 23,920 cents | Jaatinen, Pätynen y Alho, JASA 2019 |
| Curva de afinación con inarmonicidad real frente a curva de Railsback | F(1,16) = 16,05, p < 0,01 | Jaatinen y Pätynen, JASA 2022 |
| Menor diferencia de altura perceptible | Tan pequeña como 10 cents | Gràcia y Sanz-Perela, Reports@SCM 2017 |
| Aumento de altura por parciales inarmónicos, tonos más graves | Unos dos semitonos y medio | Anderson y Strong, JASA 2005 |
| Detección de desafinación de 50 cents comprimida frente a estirada | La comprimida se detectó mejor, F1,100 = 228,87, p < 0,001 | Madsen y Oxenham, Communications Psychology 2024 |
| Percepción de la desafinación, 91 participantes | Asociada con la pérdida auditiva, no con la edad | Madsen et al., Hearing Research 2025 |
| Vibraciones longitudinales de las cuerdas audibles | Hasta C5 | Bank y Lehtonen, JASA 2010 |
| Cambio de altura solo por las fases de los parciales, tonos de A0 | Una octava, una quinta o una tercera mayor | Galembo et al., JASA 2001 |
| Carga total de las cuerdas, piano de cola de concierto moderno | Unos 210.000 N | Conklin 1990 |
| Tensión de las cuerdas graves, piano de cola de 161 cm | 831 N a 1.131 N | Choi et al. 2002 |
| Aumento de resistencia a la tracción del alambre de acero, 1850 a 1900 | Cerca del 30% | Giordano, ASA 2011 |
| Deriva de la afinación tras un año de conciertos, registro medio frente a octava más aguda | Unos 2,5 cents frente a hasta 10 cents | Plath, ISMA 2019 |
| Humedad relativa recomendada dentro del piano | 42% | Piano Technicians Guild |
| Contenido de humedad de la madera con 20% frente a 80% de humedad relativa (70 °F) | 4,5% frente a 16,0% | USDA Wood Handbook 2021 |
Metodología y Fuentes
Realizamos búsquedas dirigidas sobre medición de la inarmonicidad, el estiramiento de Railsback, la percepción de octavas, la tensión de las cuerdas y el diseño de la escala, y la deriva causada por la humedad, y luego leímos cada cifra en el documento primario (artículo, conferencia, guía profesional o manual gubernamental). Se excluyeron las cifras de fragmentos de resultados de búsqueda, las publicaciones de foros y los blogs de técnicos. Este es un tema de medición, por lo que la mayoría de los datos tienen más de tres años: la física de las cuerdas de acero no envejece, pero cada sección señala sus datos más recientes disponibles.
- Dalmont, Piano bass strings with reduced inharmonicity: theory and experiments, Acta Acustica vol. 5, 2021
- Schuck y Young, Observations on the vibrations of piano strings, JASA 15, 1943 (registro del resumen, Technical University of Munich)
- Automatic Tuning of High Piano Tones, Applied Sciences 10(6), 2020
- Wogram y Mori, Is a grand piano always better than an upright piano?, ASA, 146.ª reunión, 2003
- Gràcia y Sanz-Perela, The wave equation for stiff strings and piano tuning, Reports@SCM vol. 3, 2017
- Giordano, Explaining the Railsback stretch in terms of the inharmonicity of piano tones and sensory dissonance, JASA 138(4), 2015
- Jaatinen y Pätynen, Effect of inharmonicity on pitch perception and subjective tuning of piano tones, JASA 152(2), 2022
- Jaatinen, Pätynen y Alho, Octave stretching phenomenon with complex tones of orchestral instruments, JASA 146(5), 2019
- Hinrichsen, Entropy-based tuning of musical instruments, Revista Brasileira de Ensino de Física 34(2), 2012
- Anderson y Strong, The effect of inharmonic partials on pitch of piano tones, JASA 117(5), 2005
- Madsen y Oxenham, Mistuning perception in music is asymmetric and relies on both beats and inharmonicity, Communications Psychology 2024
- Madsen, Kreft, Purmalietis, Dau y Oxenham, Association between hearing loss but not age and mistuning perception in music, Hearing Research vol. 467, 2025
- Bank y Lehtonen, Perception of longitudinal components in piano string vibrations, JASA 128(3), 2010
- Galembo, Askenfelt, Cuddy y Russo, Effects of relative phases on pitch and timbre in the piano bass range, JASA 110(3), 2001
- Conklin, The cast-iron plate, Five Lectures on the Acoustics of the Piano, Royal Swedish Academy of Music 1990
- Wogram, Influence of string tension, Five Lectures on the Acoustics of the Piano 1990
- Choi, Yoon, Kim y Sung, Influence of inharmonicity on the tone of a piano, Seoul National University 2002
- Giordano, Evolution of music wire and its impact on the development of the piano, ASA, 161.ª reunión, 2011
- Plath, Influence of long-term playing on the tonal characteristics of a concert piano, ISMA 2019
- Piano Technicians Guild, Humidity Control
- Piano Technicians Guild, Technical Bulletin 1: Pitch Raising (revisado en 1994)
- USDA Forest Products Laboratory, Wood Handbook FPL-GTR-282, capítulo 4: Moisture relations and physical properties of wood, 2021
- Nota sobre los datos: los rangos publicados de B se contradicen. Hinrichsen (2012) da un B de 0,0002 en los graves hasta 0,4 en los agudos, mientras que el artículo de 2021 de Acta Acustica sitúa las notas más agudas en el orden de 10⁻², por lo que usamos los órdenes de magnitud de Acta Acustica. No pudimos leer valores en cents para los extremos de la curva de Railsback en ninguna fuente primaria a nuestro alcance, así que este informe no ofrece una cifra única de “cents de estiramiento en A0 y C8”; las cifras que circulan en línea se remontan a wikis y foros. El estudio de deriva y la tabla de tensiones de Choi et al. proceden, cada uno, de un solo instrumento. El boletín de la Piano Technicians Guild se revisó por última vez en 1994, y la tabla de humedad del Wood Handbook se deriva principalmente de la pícea de Sitka.
Última actualización: 7 de noviembre de 2026. Actualizamos este informe trimestralmente, y la próxima revisión se espera cuando el Journal of the Acoustical Society of America publique sus próximos artículos sobre acústica del piano.